Cinq guichets, une minute

La loi. La stabilité de la loi de Poisson porte sur une somme de deux variables indépendantes ; on l'applique quatre fois de suite, le lemme des coalitions garantissant à chaque étape que la somme partielle $X_1+\cdots +X_j$ est indépendante de $X_{j+1}$. Donc $$S\hookrightarrow \mathcal{P}(5\times 0,4)=\mathcal{P}(2).$$

La probabilité d'une minute vide. $$P([S=0])={\mathrm{e}}^{-2}\frac{2^0}{0!}={\mathrm{e}}^{-2}\approx 0,1353.$$

Contrôle par l'indépendance. Les cinq guichets sont vides si et seulement si chacun l'est, donc $$P([S=0])=\prod _{i=1}^{5}P([X_i=0])={\left({\mathrm{e}}^{-0,4}\right)}^5={\mathrm{e}}^{-2}.$$ Les deux calculs coïncident : la loi obtenue est cohérente.

Espérance et variance. Pour $\mathcal{P}(2)$, $E(S)=V(S)=2$. On les retrouve sans invoquer la stabilité : $E(S)=5\times 0,4=2$ par linéarité — qui ne demande rien —, et $V(S)=5\times 0,4=2$ par indépendance mutuelle.

Le point à retenir. La loi de Poisson n'ayant qu'un paramètre, rien ne contraint la somme : contrairement à la binomiale, aucune égalité de paramètres n'est requise. C'est ce qui en fait la loi des comptages qu'on agrège.