Covariance nulle sans indépendance

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 — Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Covariance et corrélation

Énoncé

Soit $X$ uniforme sur ${- 2, - 1, 1, 2}$ et $Y = ∣ X ∣$ . Montrer que $Cov (X, Y) = 0$ et que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

Corrigé

Covariance. $E (X) = \frac{- 2 - 1 + 1 + 2}{4} = 0$ . Et

$E (X Y) = E (X ∣ X ∣) = \frac{( - 2 ) ( 2 ) + ( - 1 ) ( 1 ) + ( 1 ) ( 1 ) + ( 2 ) ( 2 )}{4} = \frac{- 4 - 1 + 1 + 4}{4} = 0.$

Donc $Cov (X, Y) = 0 - 0 \times E (Y) = 0$ .

Pas indépendantes. $Y$ ne prend que les valeurs $1$ et $2$ , chacune avec probabilité $\frac{1}{2}$ . Or

$P ([X = 1] \cap [Y = 2]) = 0, alors que P ([X = 1]) P ([Y = 2]) = \frac{1}{4} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{8} \neq = 0.$

La leçon, redite. Une covariance nulle signifie « aucun lien linéaire ». Ici le lien est parfait — $Y$ est fonction de $X$ — mais symétrique, donc invisible à la covariance.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.