Deux combinaisons des mêmes variables

Ce qu'on utilise. L'indépendance de $X$ et $Y$ donne $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$ ; et par définition $\mathrm{Cov}(X,X)=V(X)=1$, $\mathrm{Cov}(Y,Y)=V(Y)=1$.

La covariance, par bilinéarité. On développe comme un produit, en gardant les quatre termes : $$\mathrm{Cov}(U,V)=\mathrm{Cov}(X+2Y,3X-Y)=3\mathrm{Cov}(X,X)-\mathrm{Cov}(X,Y)+6\mathrm{Cov}(Y,X)-2\mathrm{Cov}(Y,Y),$$ soit $3\times 1-0+0-2\times 1=1$.

Les variances. L'indépendance annule les termes croisés : $$V(U)=V(X)+4V(Y)=5,V(V)=9V(X)+V(Y)=10.$$

La corrélation. $$\rho (U,V)=\frac{1}{\sqrt{5}\times \sqrt{10}}=\frac{1}{\sqrt{50}}=\frac{\sqrt{2}}{10}\approx 0,141.$$

Le point délicat. $X$ et $Y$ sont indépendantes ; $U$ et $V$ ne le sont pas, puisque leur covariance vaut $1\ne 0$. Le lemme des coalitions ne s'applique pas : il exige que $U$ et $V$ soient fonctions de deux paquets disjoints de variables, or chacune fait ici intervenir $X$ et $Y$.

Le point à retenir. La bilinéarité développe une covariance comme un produit : chaque terme croisé disparaît par indépendance, chaque terme carré devient une variance. On n'écrit jamais la loi conjointe.