Deux lois de Poisson, connaissant leur somme

Ce qu'on emploie. La stabilité de la loi de Poisson par somme de variables indépendantes ($X+Y\hookrightarrow \mathcal{P}(\lambda +\mu )$), la définition d'une loi conditionnelle, et la formule du binôme sous la forme $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right)=\frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Le numérateur. Pour $0⩽k⩽n$, l'événement $[X=k]\cap [X+Y=n]$ est exactement $[X=k]\cap [Y=n-k]$. Par indépendance, $$P([X=k]\cap [X+Y=n])={\mathrm{e}}^{-\lambda }\frac{{\lambda }^k}{k!}\times {\mathrm{e}}^{-\mu }\frac{{\mu }^{n-k}}{(n-k)!}.$$

Le dénominateur. $X+Y$ suit $\mathcal{P}(\lambda +\mu )$, donc $$P([X+Y=n])={\mathrm{e}}^{-(\lambda +\mu )}\frac{(\lambda +\mu {)}^n}{n!}.$$

Le quotient. Les facteurs ${\mathrm{e}}^{-\lambda }{\mathrm{e}}^{-\mu }$ et ${\mathrm{e}}^{-(\lambda +\mu )}$ se simplifient, et il reste $$P([X=k]\mid [X+Y=n])=\frac{n!}{k!(n-k)!}\cdot \frac{{\lambda }^k{\mu }^{n-k}}{(\lambda +\mu {)}^n}=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k}\right){\left(\frac{\lambda }{\lambda +\mu }\right)}^k{\left(\frac{\mu }{\lambda +\mu }\right)}^{n-k}.$$

Conclusion. Comme $\frac{\mu }{\lambda +\mu }=1-\frac{\lambda }{\lambda +\mu }$, on reconnaît la loi binomiale : conditionnellement à $[X+Y=n]$, $$X\hookrightarrow \mathcal{B}\left(n;\frac{\lambda }{\lambda +\mu }\right).$$

Lecture. Les paramètres ont disparu au profit de leur seule proportion. Si deux guichets reçoivent des flux de Poisson d'intensités $\lambda$ et $\mu$, savoir que $n$ clients sont arrivés en tout revient à répartir ces $n$ clients au hasard, chacun allant au premier guichet avec la probabilité $\frac{\lambda }{\lambda +\mu }$.