Deux lois de Poisson qui s'ajoutent

Ce qu'on emploie. La stabilité de la loi de Poisson : si $X\hookrightarrow \mathcal{P}({\lambda }_1)$ et $Y\hookrightarrow \mathcal{P}({\lambda }_2)$ sont indépendantes, alors $X+Y\hookrightarrow \mathcal{P}({\lambda }_1+{\lambda }_2)$.

La loi. Les deux variables sont indépendantes, donc $$X+Y\hookrightarrow \mathcal{P}(2+3)=\mathcal{P}(5).$$

Les moments. Pour une loi de Poisson de paramètre $\lambda$, l'espérance et la variance valent toutes deux $\lambda$ : $$E(X+Y)=5,V(X+Y)=5.$$ On peut le retrouver autrement : $E(X+Y)=2+3=5$ par linéarité, et $V(X+Y)=2+3=5$ par indépendance — les deux chemins concordent.

La probabilité. $$P([X+Y=1])={\mathrm{e}}^{-5}\frac{5^1}{1!}=5{\mathrm{e}}^{-5}\approx 0,0337.$$

Le point de vigilance. La loi de Poisson n'ayant qu'un paramètre, la stabilité s'applique toujours. La loi binomiale, elle, en a deux, et sa stabilité exige le même $p$ dans les deux termes.