Deux variances

Ce qu'on emploie. La formule $V(aX+b)=a^{2}V(X)$, et l'additivité $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ valable parce que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Première variance. $$V(3X+2)=3^{2}V(X)=9\times 5=45.$$ La constante $2$ ne joue aucun rôle : translater une variable ne change pas sa dispersion. Et le coefficient est élevé au carré — c'est l'erreur la plus fréquente.

Deuxième variance. L'indépendance donne $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$, donc $$V(X+Y)=V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=5+2=7.$$

Troisième variance. On écrit $X-Y=X+(-1)Y$ : $$V(X-Y)=V(X)+(-1{)}^{2}V(Y)-2\mathrm{Cov}(X,Y)=5+2=7.$$ La variance d'une différence est la somme des variances : les deux sources d'incertitude s'ajoutent, quel que soit le signe. C'est le second piège classique.