Deux variances

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 — Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Espérance et variance d'une somme

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ indépendantes, avec $V (X) = 5$ et $V (Y) = 2$ . Calculer $V (3 X + 2)$ , $V (X + Y)$ et $V (X - Y)$ .

Corrigé

Ce qu'on emploie. La formule $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ , et l'additivité $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ valable parce que $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Première variance. $V (3 X + 2) = 3^{2} V (X) = 9 \times 5 = 45.$ La constante $2$ ne joue aucun rôle : translater une variable ne change pas sa dispersion. Et le coefficient est élevé au carré — c'est l'erreur la plus fréquente.

Deuxième variance. L'indépendance donne $Cov (X, Y) = 0$ , donc $V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y) = 5 + 2 = 7.$

Troisième variance. On écrit $X - Y = X + (- 1) Y$ : $V (X - Y) = V (X) + (- 1)^{2} V (Y) - 2 Cov (X, Y) = 5 + 2 = 7.$ La variance d'une différence est la somme des variances : les deux sources d'incertitude s'ajoutent, quel que soit le signe. C'est le second piège classique.

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