Indépendantes deux à deux, et pourtant liées

Ce qu'on emploie. La définition de l'indépendance de deux variables, puis celle de l'indépendance mutuelle, qui exige l'égalité sur les triplets.

La loi de $X_3$. L'événement $[X_3=1]$ est $([X_1=0]\cap [X_2=0])\cup ([X_1=1]\cap [X_2=1])$, réunion de deux événements incompatibles de probabilité $\frac{1}{4}$ chacun. Donc $P([X_3=1])=\frac{1}{2}$, et $X_3$ suit aussi une loi de Bernoulli de paramètre $\frac{1}{2}$.

$X_1$ et $X_3$ sont indépendantes. $$P([X_1=1]\cap [X_3=1])=P([X_1=1]\cap [X_2=1])=\frac{1}{4}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=P([X_1=1])P([X_3=1]).$$ Le même calcul vaut pour les trois autres couples de valeurs : par exemple $[X_1=1]\cap [X_3=0]$ est $[X_1=1]\cap [X_2=0]$, de probabilité $\frac{1}{4}$. Par symétrie des rôles de $X_1$ et $X_2$, $X_2$ et $X_3$ sont également indépendantes ; et $X_1$, $X_2$ le sont par hypothèse.

Elles ne sont pas mutuellement indépendantes. L'événement $[X_1=1]\cap [X_2=1]\cap [X_3=1]$ est simplement $[X_1=1]\cap [X_2=1]$, de probabilité $\frac{1}{4}$. Or le produit des trois probabilités vaut $$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}\ne \frac{1}{4}.$$

Ce que cela montre. $X_3$ est entièrement déterminée par $X_1$ et $X_2$ : connaître deux des trois variables donne la troisième. L'indépendance deux à deux ne voit pas ce lien, l'indépendance mutuelle si — c'est pourquoi le programme n'emploie que la seconde.