La covariance de deux indicatrices

Ce qu'on emploie. La formule de Koenig-Huygens $\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)$, et le fait qu'une variable ne prenant que les valeurs $0$ et $1$ a pour espérance la probabilité de l'événement qu'elle indique.

Les espérances. $X$ vaut $1$ exactement sur $A$, donc $E(X)=P(A)$ ; de même $E(Y)=P(B)$. Le produit $XY$ vaut $1$ exactement lorsque $X$ et $Y$ valent toutes deux $1$, c'est-à-dire sur $A\cap B$, et $0$ ailleurs : c'est encore une variable indicatrice, donc $$E(XY)=P(A\cap B).$$

La formule. Koenig-Huygens donne alors directement $$\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=P(A\cap B)-P(A)P(B).$$ On lit au passage que la covariance de deux indicatrices est nulle si et seulement si les deux événements sont indépendants : pour ces variables-là, et pour elles seules, covariance nulle et indépendance coïncident.

L'application. $$\mathrm{Cov}(X,Y)=0,3-0,4\times 0,5=0,3-0,2=0,1.$$ Comme $X^2=X$, on a $E(X^2)=0,4$ et $V(X)=0,4-0,16=0,24$ ; de même $V(Y)=0,5-0,25=0,25$. Donc $\sigma (X)=\sqrt{0,24}=\frac{\sqrt{6}}{5}$ et $\sigma (Y)=\frac{1}{2}$, puis $$\rho (X,Y)=\frac{0,1}{\frac{\sqrt{6}}{5}\times \frac{1}{2}}=\frac{0,1\times 10}{\sqrt{6}}=\frac{1}{\sqrt{6}}\approx 0,408.$$ La corrélation est positive : $A$ et $B$ se produisent ensemble plus souvent que s'ils étaient indépendants.