La variance d'une somme dont les termes sont liés

Ce qu'on emploie. La bilinéarité et la symétrie de la covariance, $\mathrm{Cov}(X_i,X_i)=V(X_i)$, et le fait qu'une variance est toujours positive ou nulle.

Le développement. Posons $S={\sum }_{i=1}^n{X}_i$. En développant par bilinéarité, $$V(S)=\mathrm{Cov}(S,S)=\sum _{i=1}^n\sum _{j=1}^n\mathrm{Cov}(X_i,X_j).$$ On sépare les $n$ termes diagonaux ($i=j$) des autres. Il y a $n^2-n$ couples avec $i\ne j$, chacun apportant $c$ : $$V(S)=\sum _{i=1}^{n}V(X_i)+\sum _{i\ne j}c=n{\sigma }^2+n(n-1)c.$$

Contrôle. Si $c=0$ — par exemple si les variables sont mutuellement indépendantes — on retrouve $V(S)=n{\sigma }^2$, comme le cours l'annonce.

La minoration de $c$. $V(S)$ est une variance, donc $V(S)⩾0$ : $$n{\sigma }^2+n(n-1)c⩾0⟹{\sigma }^2+(n-1)c⩾0⟹c⩾-\frac{{\sigma }^2}{n-1},$$ la division par $n>0$ puis par $n-1>0$ conservant le sens de l'inégalité.

Le point délicat. On ne peut donc pas rendre $n$ variables « très négativement corrélées » toutes ensemble : plus elles sont nombreuses, plus la covariance commune est contrainte à se rapprocher de $0$. Pour $n=2$ la borne est $-{\sigma }^2$, ce qui correspond à $\rho =-1$, c'est-à-dire à $X_2$ fonction affine décroissante de $X_1$.