Le lemme des coalitions à l'œuvre

Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Suites de variables aléatoires · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}$ mutuellement indépendantes, de même loi, d'espérance $1$ et de variance $2$ . On pose $S = X_{1} + X_{2}$ et $T = X_{3} X_{4}$ . Calculer $E (S T)$ et $V (S)$ .

Corrigé

Indépendance. $S$ est fonction de $(X_{1}, X_{2})$ , $T$ de $(X_{3}, X_{4})$ : par le lemme des coalitions, $S$ et $T$ sont indépendantes.

$E (S T)$ . L'indépendance donne $E (S T) = E (S) E (T)$ . Or $E (S) = 1 + 1 = 2$ , et $X_{3}, X_{4}$ étant elles-mêmes indépendantes, $E (T) = E (X_{3}) E (X_{4}) = 1$ . Donc $E (S T) = 2$ .

$V (S)$ . $X_{1}$ et $X_{2}$ sont indépendantes, donc $V (S) = 2 + 2 = 4$ .

Ce qui aurait été faux. Sans le lemme, on ne pourrait pas écrire $E (S T) = E (S) E (T)$ : $S$ et $T$ sont des fonctions compliquées des variables de départ, et c'est précisément la disjonction des paquets qui garantit leur indépendance.

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