Le premier des deux

L'outil. Un minimum ne se calcule pas case par case : on passe par l'événement $[M>k]$, qui se décompose. Pour tout $k\in \mathbb{N}$, $$[M>k]=[X>k]\cap [Y>k],$$ car le plus petit des deux dépasse $k$ si et seulement si les deux le dépassent.

La queue d'une loi géométrique. $P([X>k])=(1-p{)}^k$ : c'est la probabilité que les $k$ premières épreuves soient toutes des échecs.

Le calcul. Par indépendance de $X$ et $Y$, $$P([M>k])=(1-p{)}^k(1-p{)}^k=[(1-p{)}^2{]}^k.$$

Identification. Posons $p^{\prime }=1-(1-p{)}^2=2p-p^2$, qui appartient bien à $]0;1[$. Alors $P([M>k])=(1-p^{\prime }{)}^k$ pour tout $k\in \mathbb{N}$, et $$P([M=k])=P([M>k-1])-P([M>k])=(1-p^{\prime }{)}^{k-1}-(1-p^{\prime }{)}^k=(1-p^{\prime }{)}^{k-1}{p}^{\prime }$$ pour $k⩾1$. Donc $M\hookrightarrow \mathcal{G}(2p-p^2)$.

Contrôle. Pour $p=\frac{1}{2}$ : $p^{\prime }=\frac{3}{4}$ et $E(M)=\frac{1}{p^{\prime }}=\frac{4}{3}$, contre $E(X)=2$. Le premier des deux arrive bien plus tôt que chacun pris isolément.

Le point à retenir. Le minimum de deux lois géométriques indépendantes est géométrique ; le maximum ne l'est pas. La dissymétrie vient de ce que $[M>k]$ est une intersection, alors que $[\max (X,Y)>k]$ est une réunion, qui ne se factorise pas.