Le signe qui reste d'une transformation affine

Exercice d'entraînement · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 — Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Covariance, corrélation et variance d'une somme

Énoncé

Soit $X$ une variable admettant un moment d'ordre $2$ , avec $V (X) > 0$ . Soient $a \neq = 0$ et $b$ deux réels, et $Y = a X + b$ . Calculer $Cov (X, Y)$ , $V (Y)$ , puis montrer que $ρ (X, Y) = 1$ si $a > 0$ et $ρ (X, Y) = - 1$ si $a < 0$ .

Corrigé

Ce qu'on emploie. La bilinéarité de la covariance, la propriété $Cov (X, b) = 0$ pour une constante $b$ , la formule $V (a X + b) = a^{2} V (X)$ , et la définition $ρ (X, Y) = \frac{Cov ( X , Y )}{σ ( X ) σ ( Y )}$ .

La covariance. Par bilinéarité en la seconde variable, $Cov (X, a X + b) = a Cov (X, X) + Cov (X, b) = a V (X) + 0 = a V (X) .$

La variance. $V (Y) = V (a X + b) = a^{2} V (X)$ , donc $σ (Y) = a^{2} V (X) = ∣ a ∣ σ (X) .$ C'est ici qu'il faut être attentif : $a^{2} = ∣ a ∣$ , et non $a$ . Comme $V (X) > 0$ et $a \neq = 0$ , on a $σ (Y) > 0$ et le quotient a bien un sens.

La corrélation. $ρ (X, Y) = \frac{a V ( X )}{σ ( X ) \times ∣ a ∣ σ ( X )} = \frac{a V ( X )}{∣ a ∣ V ( X )} = \frac{a}{∣ a ∣},$ puisque $σ (X)^{2} = V (X)$ . Ce quotient vaut $1$ si $a > 0$ et $- 1$ si $a < 0$ .

Ce que cela confirme. Le cours énonce que $∣ ρ ∣ = 1$ équivaut à l'existence d'une relation affine $Y = a X + b$ presque sûre. On vient de vérifier le sens direct, et l'on voit de plus que le signe de $ρ$ est celui de la pente : la corrélation ne mesure que le lien linéaire, mais elle en donne le sens sans ambiguïté. Noter enfin que $b$ n'intervient nulle part : translater une variable ne change ni sa variance, ni ses covariances.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.