Les succès et les échecs

La covariance. Par bilinéarité, et puisque la covariance d'une variable avec une constante est nulle : $$\mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(X,n-X)=\mathrm{Cov}(X,n)-\mathrm{Cov}(X,X)=0-V(X)=-np(1-p).$$

Les écarts-types. $Y=-X+n$ est affine en $X$, donc $V(Y)=(-1{)}^{2}V(X)=np(1-p)$ et $\sigma (Y)=\sigma (X)$. Les hypothèses $n⩾1$ et $0<p<1$ assurent $V(X)>0$, ce qui autorise le quotient.

La corrélation. $$\rho (X,Y)=\frac{-V(X)}{\sigma (X)\sigma (X)}=\frac{-V(X)}{V(X)}=-1.$$

Cohérence avec le cours. $|\rho |=1$ si et seulement s'il existe $a\ne 0$ et $b$ tels que $Y=aX+b$. C'est exactement le cas, avec $a=-1$ et $b=n$ ; le signe négatif de $a$ donne $\rho =-1$.

Un second contrôle. $X+Y=n$ est constante, donc $V(X+Y)=0$. Et la formule du cours donne bien $$V(X)+V(Y)+2\mathrm{Cov}(X,Y)=np(1-p)+np(1-p)-2np(1-p)=0.$$

Le point à retenir. Une corrélation de $-1$ ne signale pas un lien « très fort » : elle signale un lien affine exact. Ici, la tautologie « chaque épreuve est un succès ou un échec ».