Maximum de deux variables indépendantes

Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Minimum et maximum · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ indépendantes, uniformes sur ${1, \dots, n}$ . Déterminer la loi de $M = max (X, Y)$ , puis $E (M)$ pour $n = 4$ .

Fonction de répartition. Par indépendance,

$P ([M ⩽ k]) = P ([X ⩽ k]) P ([Y ⩽ k]) = (\frac{k}{n})^{2}, 1 ⩽ k ⩽ n .$

Loi. $P ([M = k]) = \frac{k ^{2} - ( k - 1 ) ^{2}}{n ^{2}} = \frac{2 k - 1}{n ^{2}}$ .

Cas $n = 4$ . Les probabilités sont $\frac{1}{16}, \frac{3}{16}, \frac{5}{16}, \frac{7}{16}$ , de somme $1$ . Donc

$E (M) = \frac{1 \times 1 + 2 \times 3 + 3 \times 5 + 4 \times 7}{16} = \frac{1 + 6 + 15 + 28}{16} = \frac{50}{16} = 3, 125.$

Contrôle. $E (M) > E (X) = 2, 5$ , ce qui est attendu : le maximum de deux tirages est en moyenne plus grand qu'un seul.