Moyenne d'un échantillon

Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Suites de variables aléatoires · niveau 2

Énoncé

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ mutuellement indépendantes, de même espérance $m$ et de même variance $σ^{2}$ . Calculer l'espérance et la variance de $X_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ .

Corrigé

Espérance. Par linéarité, $E (X_{n}) = \frac{1}{n} \sum E (X_{i}) = \frac{nm}{n} = m$ .

Variance. La variance n'est pas linéaire : $V (a Z) = a^{2} V (Z)$ . Donc

$V (X_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} V (\sum X_{i}) = \frac{1}{n ^{2}} \times n σ^{2} = \frac{σ ^{2}}{n},$

en utilisant l'indépendance pour la seconde égalité.

L'écart-type vaut donc $\frac{σ}{n}$ .

La conséquence pratique. Pour diviser l'incertitude par $2$ , il faut quadrupler la taille de l'échantillon. C'est ce résultat qui fonde toute l'estimation du chapitre 12.

Énoncé

Corrigé

Exercices semblables