Moyenne d'un échantillon

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 — Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Suites de variables aléatoires

Énoncé

Soient $X_{1}, \dots, X_{n}$ mutuellement indépendantes, de même espérance $m$ et de même variance $σ^{2}$ . Calculer l'espérance et la variance de $X_{n} = \frac{X _{1} + \dots + X _{n}}{n}$ .

Corrigé

Espérance. Par linéarité, $E (X_{n}) = \frac{1}{n} \sum E (X_{i}) = \frac{nm}{n} = m$ .

Variance. La variance n'est pas linéaire : $V (a Z) = a^{2} V (Z)$ . Donc

$V (X_{n}) = \frac{1}{n ^{2}} V (\sum X_{i}) = \frac{1}{n ^{2}} \times n σ^{2} = \frac{σ ^{2}}{n},$

en utilisant l'indépendance pour la seconde égalité.

L'écart-type vaut donc $\frac{σ}{n}$ .

La conséquence pratique. Pour diviser l'incertitude par $2$ , il faut quadrupler la taille de l'échantillon. C'est ce résultat qui fonde toute l'estimation du chapitre 12.

Les autres exercices de ce chapitre Le cours du chapitre

Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.