Répartir un placement entre deux actifs

Ce qu'on emploie. $V(aX)=a^{2}V(X)$, l'additivité de la variance pour des variables indépendantes, et l'étude d'un trinôme du second degré.

La variance. $\alpha X$ et $(1-\alpha )Y$ sont indépendantes (fonctions de deux variables indépendantes), donc $$V(Z_{\alpha })={\alpha }^2{\sigma }_1^2+(1-\alpha {)}^2{\sigma }_2^2.$$

La minimisation. Posons $g(\alpha )={\alpha }^2{\sigma }_1^2+(1-\alpha {)}^2{\sigma }_2^2$. C'est un trinôme en $\alpha$ de coefficient dominant ${\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2>0$, donc $g$ admet un minimum, atteint là où sa dérivée s'annule : $$g^{\prime }(\alpha )=2\alpha {\sigma }_1^2-2(1-\alpha ){\sigma }_2^2=0⟺\alpha ({\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)={\sigma }_2^2.$$ D'où $${\alpha }^{\ast }=\frac{{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2},$$ qui appartient bien à $[0,1]$ puisque numérateur et dénominateur sont positifs et que le premier ne dépasse pas le second.

La valeur minimale. Avec $S={\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2$, on a ${\alpha }^{\ast }=\frac{{\sigma }_2^2}{S}$ et $1-{\alpha }^{\ast }=\frac{{\sigma }_1^2}{S}$, donc $$g({\alpha }^{\ast })=\frac{{\sigma }_2^4{\sigma }_1^2+{\sigma }_1^4{\sigma }_2^2}{S^2}=\frac{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^{2}S}{S^2}=\frac{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2}{{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2}.$$

Lecture. On met le plus de poids sur l'actif le moins variable : si ${\sigma }_1$ est grand, ${\alpha }^{\ast }$ est petit. Et la variance obtenue est inférieure à chacune des deux : $\frac{{\sigma }_1^2{\sigma }_2^2}{S}<{\sigma }_1^2$ car ${\sigma }_2^2<S$. C'est le bénéfice de la diversification.