Stabilité binomiale

Les deux lois ont le même $p=0,4$ : par le théorème de stabilité,

$$X+Y\hookrightarrow \mathcal{B}(12;0,4).$$

Espérance. $12\times 0,4=4,8$, ce que confirme la linéarité : $2+2,8=4,8$.

Variance. $12\times 0,4\times 0,6=2,88$. Et par indépendance : $V(X)+V(Y)=5(0,24)+7(0,24)=1,2+1,68=2,88$. Cohérent.

Interprétation. Une $\mathcal{B}(n,p)$ compte les succès de $n$ épreuves ; en réunir $5$ et $7$ donne $12$ épreuves de même probabilité de succès. Le théorème ne fait qu'écrire cette évidence.