Stabilité binomiale

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 — Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Espérance et variance d'une somme

Énoncé

Soient $X ↪ B (5; 0, 4)$ et $Y ↪ B (7; 0, 4)$ , indépendantes. Donner la loi de $X + Y$ , son espérance et sa variance.

Corrigé

Les deux lois ont le même $p = 0, 4$ : par le théorème de stabilité,

$X + Y ↪ B (12; 0, 4) .$

Espérance. $12 \times 0, 4 = 4, 8$ , ce que confirme la linéarité : $2 + 2, 8 = 4, 8$ .

Variance. $12 \times 0, 4 \times 0, 6 = 2, 88$ . Et par indépendance : $V (X) + V (Y) = 5 (0, 24) + 7 (0, 24) = 1, 2 + 1, 68 = 2, 88$ . Cohérent.

Interprétation. Une $B (n, p)$ compte les succès de $n$ épreuves ; en réunir $5$ et $7$ donne $12$ épreuves de même probabilité de succès. Le théorème ne fait qu'écrire cette évidence.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.