Trois épreuves de probabilités différentes

Ce qu'on emploie. La linéarité de l'espérance (sans hypothèse), l'additivité de la variance pour des variables mutuellement indépendantes, et le fait qu'une loi $\mathcal{B}(n;p)$ est entièrement déterminée par ses deux paramètres.

L'espérance. $$E(S)=0,2+0,5+0,8=1,5.$$

La variance. Pour une loi de Bernoulli de paramètre $p$, la variance vaut $p(1-p)$ : $$V(X_1)=0,2\times 0,8=0,16,V(X_2)=0,5\times 0,5=0,25,V(X_3)=0,8\times 0,2=0,16.$$ Par indépendance mutuelle, $$V(S)=0,16+0,25+0,16=0,57.$$

Le raisonnement par l'absurde. Supposons que $S$ suive une loi $\mathcal{B}(3;p)$. Comme $S$ prend ses valeurs dans $\{0,1,2,3\}$, le premier paramètre ne peut être que $3$. Alors $E(S)=3p=1,5$, donc $p=0,5$, et la variance devrait valoir $$3\times 0,5\times 0,5=0,75.$$ Or on a calculé $V(S)=0,57$. Contradiction : $S$ n'est pas binomiale.

Une seconde preuve, par une probabilité. $[S=0]$ est réalisé quand les trois variables valent $0$ : $$P([S=0])=0,8\times 0,5\times 0,2=0,08,$$ alors qu'une loi $\mathcal{B}(3;0,5)$ donnerait $0,5^3=0,125$.

Ce que cela illustre. La stabilité binomiale du cours exige le même paramètre $p$ dans tous les termes. Sans cela, la somme reste à valeurs dans $\{0,\dots ,n\}$, garde une espérance et une variance calculables, mais n'a plus de nom usuel.