Un minimum et un maximum, sans calculer la loi

Ce qu'on emploie. Les deux formules du cours, valables pour $X$ et $Y$ indépendantes : $$P([\max (X,Y)⩽k])=P([X⩽k])P([Y⩽k]),P([\min (X,Y)>k])=P([X>k])P([Y>k]).$$

Le maximum. L'événement $[\max (X,Y)⩽2]$ signifie que les deux variables sont au plus égales à $2$. Comme $P([X⩽2])=\frac{2}{3}$ et de même pour $Y$, $$P([\max (X,Y)⩽2])=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.$$

Le minimum. L'événement $[\min (X,Y)>1]$ signifie que les deux variables dépassent $1$. Comme $P([X>1])=\frac{2}{3}$, $$P([\min (X,Y)>1])=\frac{2}{3}\times \frac{2}{3}=\frac{4}{9}.$$

Le complémentaire. L'événement $[\min (X,Y)=1]$ est le contraire de $[\min (X,Y)>1]$, puisque le minimum vaut au moins $1$ : $$P([\min (X,Y)=1])=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}.$$

Le geste à retenir. Un maximum se traite par l'événement « toutes plus petites », un minimum par l'événement « toutes plus grandes ». On passe à l'égalité par différence, jamais directement.