Un tableau à six cases

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 — Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Lire un tableau de loi conjointe

Énoncé

La loi conjointe de $(X, Y)$ , pour $X (Ω) = {1, 2}$ et $Y (Ω) = {1, 2, 3}$ , est : $0, 05$ , $0, 10$ , $0, 15$ sur la ligne $X = 1$ , et $0, 20$ , $0, 25$ , $0, 25$ sur la ligne $X = 2$ (dans l'ordre $Y = 1, 2, 3$ ). Donner les deux lois marginales, puis $P ([X < Y])$ .

Corrigé

Contrôle préalable. La somme des six cases vaut $0, 05 + 0, 10 + 0, 15 + 0, 20 + 0, 25 + 0, 25 = 1$ : c'est bien une loi conjointe.

La loi de $X$ s'obtient en sommant chaque ligne : $P ([X = 1]) = 0, 05 + 0, 10 + 0, 15 = 0, 30, P ([X = 2]) = 0, 20 + 0, 25 + 0, 25 = 0, 70.$

La loi de $Y$ s'obtient en sommant chaque colonne : $P ([Y = 1]) = 0, 05 + 0, 20 = 0, 25, P ([Y = 2]) = 0, 10 + 0, 25 = 0, 35, P ([Y = 3]) = 0, 15 + 0, 25 = 0, 40.$ Les deux lois somment bien à $1$ .

La probabilité $P ([X < Y])$ . On recense les cases où $X < Y$ : $(1, 2)$ , $(1, 3)$ et $(2, 3)$ . Ces trois événements sont incompatibles, donc $P ([X < Y]) = 0, 10 + 0, 15 + 0, 25 = 0, 50.$

Le geste à retenir : une probabilité portant sur les deux variables à la fois se lit dans le tableau, jamais sur les marges — les lois marginales ont justement perdu l'information sur le lien entre $X$ et $Y$ .

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