Un terme et la somme de tous

Ce qu'on emploie. La bilinéarité de la covariance, la nullité de $\mathrm{Cov}(X_1,X_i)$ pour $i\ne 1$ (indépendance), et l'additivité de la variance.

Les moments. Pour une loi de Bernoulli, $E(X_1)=p$ et $V(X_1)=p(1-p)>0$. Comme les $X_i$ sont mutuellement indépendantes, $$V(S)=\sum _{i=1}^{n}V(X_i)=np(1-p).$$

La covariance. Par bilinéarité, $$\mathrm{Cov}(X_1,S)=\sum _{i=1}^n\mathrm{Cov}(X_1,X_i)=V(X_1)+\sum _{i=2}^n\mathrm{Cov}(X_1,X_i)=p(1-p)+0,$$ chacune des $n-1$ covariances restantes étant nulle par indépendance. Donc $\mathrm{Cov}(X_1,S)=p(1-p)$.

La corrélation. $$\rho (X_1,S)=\frac{p(1-p)}{\sqrt{p(1-p)}\sqrt{np(1-p)}}=\frac{p(1-p)}{\sqrt{n}p(1-p)}=\frac{1}{\sqrt{n}}.$$ Le paramètre $p$ disparaît entièrement.

Lecture. Pour $n=1$ on trouve $\rho =1$, ce qui est correct puisque $S=X_1$. Quand $n$ grandit, $\rho (X_1,S)$ tend vers $0$ : un terme isolé pèse de moins en moins dans la somme, et le lien linéaire entre lui et le total s'efface — bien que $X_1$ soit toujours l'un des termes de $S$, et donc jamais indépendante d'elle. Une corrélation qui tend vers $0$ n'est pas une indépendance.