Un tirage en deux temps

Ce qu'on emploie. La définition d'une loi conditionnelle, lue à l'envers : $P([N=n]\cap [X=k])=P([N=n])P([X=k]\mid [N=n])$. C'est ainsi qu'un énoncé « en deux temps » fournit une loi conjointe.

La loi conjointe. Pour $1⩽k⩽n⩽3$ : $$P([N=n]\cap [X=k])=\frac{1}{3}\times \frac{1}{n},$$ et cette probabilité est nulle si $k>n$, puisque $X$ ne dépasse jamais $N$. Les six cases non nulles valent donc $\frac{1}{3}$ (pour $n=1$), $\frac{1}{6}$ deux fois (pour $n=2$), $\frac{1}{9}$ trois fois (pour $n=3$) ; leur somme fait $\frac{1}{3}+\frac{2}{6}+\frac{3}{9}=1$.

La loi de $X$. On somme chaque colonne, c'est-à-dire sur $n⩾k$ : $$P([X=1])=\frac{1}{3}+\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{6+3+2}{18}=\frac{11}{18},$$ $$P([X=2])=\frac{1}{6}+\frac{1}{9}=\frac{3+2}{18}=\frac{5}{18},P([X=3])=\frac{1}{9}=\frac{2}{18}.$$ Contrôle : $\frac{11+5+2}{18}=1$.

L'espérance. $$E(X)=1\times \frac{11}{18}+2\times \frac{5}{18}+3\times \frac{2}{18}=\frac{11+10+6}{18}=\frac{27}{18}=\frac{3}{2}.$$

Le point délicat est le domaine : écrire $\frac{1}{3n}$ sans préciser $k⩽n$ donne un tableau qui ne somme pas à $1$.