Une covariance et une corrélation

Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Espérance et variance d'une somme · niveau 1 (application)

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ telles que $E (X) = 2$ , $E (Y) = 5$ , $E (X Y) = 11$ , $σ (X) = 1$ et $σ (Y) = 2$ . Calculer $Cov (X, Y)$ , $ρ (X, Y)$ , puis $V (X + Y)$ .

Corrigé

Ce qu'on emploie. Koenig-Huygens pour la covariance, la définition du coefficient de corrélation, et $V (X + Y) = V (X) + V (Y) + 2 Cov (X, Y)$ .

La covariance. $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 11 - 2 \times 5 = 1.$

La corrélation. $ρ (X, Y) = \frac{Cov ( X , Y )}{σ ( X ) σ ( Y )} = \frac{1}{1 \times 2} = 0, 5.$ La valeur est bien comprise entre $- 1$ et $1$ , comme le cours l'exige — un résultat en dehors de cet intervalle signalerait une erreur de calcul.

La variance de la somme. On a $V (X) = σ (X)^{2} = 1$ et $V (Y) = σ (Y)^{2} = 4$ , donc $V (X + Y) = 1 + 4 + 2 \times 1 = 7.$

Remarque. La covariance n'étant pas nulle, $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes, et le terme $2 Cov (X, Y)$ ne doit surtout pas être oublié : sans lui on aurait annoncé $5$ au lieu de $7$ .

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