Une espérance de produit, lue dans le tableau

Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Lire un tableau de loi conjointe · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $(X, Y)$ de loi conjointe $P ([X = 0] \cap [Y = 1]) = 0, 15$ , $P ([X = 0] \cap [Y = 2]) = 0, 25$ , $P ([X = 1] \cap [Y = 1]) = 0, 35$ et $P ([X = 1] \cap [Y = 2]) = 0, 25$ . Calculer $E (X Y)$ , $E (X)$ , $E (Y)$ , puis $Cov (X, Y)$ .

Corrigé

Ce qu'on emploie. Le théorème de transfert pour un couple, qui donne $E (X Y) = \sum_{(x, y)} x y P ([X = x] \cap [Y = y])$ , puis Koenig-Huygens.

L'espérance du produit. Les deux cases où $X = 0$ ne contribuent pas, puisque le produit $x y$ y est nul : $E (X Y) = 1 \times 1 \times 0, 35 + 1 \times 2 \times 0, 25 = 0, 35 + 0, 50 = 0, 85.$

Les lois marginales. $P ([X = 0]) = 0, 15 + 0, 25 = 0, 40, P ([X = 1]) = 0, 35 + 0, 25 = 0, 60,$ $P ([Y = 1]) = 0, 15 + 0, 35 = 0, 50, P ([Y = 2]) = 0, 25 + 0, 25 = 0, 50.$ D'où $E (X) = 0 \times 0, 40 + 1 \times 0, 60 = 0, 60, E (Y) = 1 \times 0, 50 + 2 \times 0, 50 = 1, 50.$

La covariance. Par Koenig-Huygens, $Cov (X, Y) = E (X Y) - E (X) E (Y) = 0, 85 - 0, 60 \times 1, 50 = 0, 85 - 0, 90 = - 0, 05.$ Elle est négative : les grandes valeurs de $X$ vont plutôt avec les petites valeurs de $Y$ . Et comme elle n'est pas nulle, $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

Énoncé

Corrigé

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