mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 8 · Exercice d'entraînement

Une espérance obtenue en échangeant deux sommes

Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Lois conjointes et lois conditionnelles · ★★★ niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $n⩾1$. On tire $X$ uniformément dans $\{1,\dots ,n\}$, puis, sachant $[X=k]$, on tire $Y$ uniformément dans $\{1,\dots ,k\}$. Montrer que $P([Y=j])=\frac{1}{n}\sum _{k=j}^n\frac{1}{k}$, puis que $E(Y)=\frac{n+3}{4}$.

Un exercice à chercher : son corrigé n'est pas publié. Sur Adloun, le tuteur guide par questions, sans donner la réponse.