Une espérance obtenue en échangeant deux sommes

Ce qu'on emploie. La loi conjointe issue du conditionnement, la formule des probabilités totales, et l'échange de deux sommes finies — que le programme autorise sans réserve.

La loi conjointe. Pour $1⩽j⩽k⩽n$, $$P([X=k]\cap [Y=j])=P([X=k])P([Y=j]\mid [X=k])=\frac{1}{n}\times \frac{1}{k},$$ et cette probabilité est nulle dès que $j>k$.

La loi de $Y$. En sommant sur $k$, donc sur les seuls $k⩾j$ : $$P([Y=j])=\sum _{k=j}^n\frac{1}{nk}=\frac{1}{n}\sum _{k=j}^n\frac{1}{k}.$$

L'espérance. On écrit $E(Y)={\sum }_{j=1}^{n}jP([Y=j])$ et l'on échange les deux sommes. La condition $1⩽j⩽k⩽n$ se lit dans les deux sens : $$E(Y)=\frac{1}{n}\sum _{j=1}^{n}j\sum _{k=j}^n\frac{1}{k}=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\sum _{j=1}^{k}j.$$ C'est là tout le travail : la somme intérieure devient élémentaire, puisque ${\sum }_{j=1}^{k}j=\frac{k(k+1)}{2}$. D'où $$E(Y)=\frac{1}{n}\sum _{k=1}^n\frac{1}{k}\cdot \frac{k(k+1)}{2}=\frac{1}{2n}\sum _{k=1}^n(k+1)=\frac{1}{2n}\left(\frac{n(n+1)}{2}+n\right).$$ En factorisant par $n$ : $$E(Y)=\frac{1}{2n}\cdot n\frac{n+3}{2}=\frac{n+3}{4}.$$

Contrôle pour $n=1$ : $Y$ vaut $1$ certainement, et la formule donne $\frac{4}{4}=1$.