Une espérance sans aucune hypothèse

Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Espérance et variance d'une somme · niveau 1 (application)

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ deux variables aléatoires d'espérances $E (X) = 3$ et $E (Y) = - 1$ , dont on ne sait rien d'autre. Calculer $E (2 X - 3 Y + 5)$ .

Corrigé

Ce qu'on emploie. La linéarité de l'espérance, qui est vraie inconditionnellement : $E (X + Y) = E (X) + E (Y)$ sans hypothèse d'indépendance, $E (a X) = a E (X)$ , et $E (c) = c$ pour une constante.

Le calcul. $E (2 X - 3 Y + 5) = 2 E (X) - 3 E (Y) + 5 = 2 \times 3 - 3 \times (- 1) + 5 = 6 + 3 + 5 = 14.$

Le point à souligner. On n'a pas eu besoin de connaître la loi conjointe de $(X, Y)$ , ni même de savoir si les variables sont indépendantes. C'est le résultat le plus robuste du chapitre.

Ce qui aurait exigé une hypothèse. Trois calculs voisins la réclament : $E (X Y) = E (X) E (Y)$ demande l'indépendance ; $V (X + Y) = V (X) + V (Y)$ aussi ; et $Cov (X, Y) = 0$ n'est garanti que par elle. Avec les seules données de l'énoncé, aucun des trois ne peut être écrit.

Énoncé

Corrigé

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