mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 8 · Exercice

Une loi conditionnelle

Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Loi conjointe et lois conditionnelles · niveau 1 (application)

Énoncé

La loi conjointe de $(X, Y)$ est donnée par $P (X = 0, Y = 0) = 0, 1$ , $P (X = 0, Y = 1) = 0, 2$ , $P (X = 1, Y = 0) = 0, 3$ et $P (X = 1, Y = 1) = 0, 4$ . Donner la loi de $X$ sachant $[Y = 1]$ .

Corrigé

$P ([Y = 1]) = 0, 6$ . Donc

$P ([X = 0] ∣ [Y = 1]) = \frac{0 , 2}{0 , 6} = \frac{1}{3}, P ([X = 1] ∣ [Y = 1]) = \frac{0 , 4}{0 , 6} = \frac{2}{3} .$

Contrôle. $\frac{1}{3} + \frac{2}{3} = 1$ : c'est bien une loi de probabilité.

Comparaison. La loi de $X$ était $(0, 3; 0, 7)$ ; sachant $[Y = 1]$ elle devient $(\frac{1}{3}; \frac{2}{3})$ . Elle a changé — c'est une autre façon de voir que $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.

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