Une loi conditionnelle, et une surprise

Exercice supplémentaire · niveau 1 (application) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 — Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Lire un tableau de loi conjointe

Énoncé

La loi conjointe de $(X, Y)$ est $P ([X = 0] \cap [Y = 0]) = 0, 12$ , $P ([X = 0] \cap [Y = 1]) = 0, 18$ , $P ([X = 1] \cap [Y = 0]) = 0, 28$ et $P ([X = 1] \cap [Y = 1]) = 0, 42$ . Donner la loi de $Y$ sachant $[X = 1]$ , puis la loi de $Y$ . Que constate-t-on ?

Corrigé

Contrôle préalable. $0, 12 + 0, 18 + 0, 28 + 0, 42 = 1$ .

La loi de $Y$ sachant $[X = 1]$ . On calcule d'abord $P ([X = 1]) = 0, 28 + 0, 42 = 0, 70.$ Elle n'est pas nulle, le conditionnement a donc un sens. Par définition, $P ([Y = 0] ∣ [X = 1]) = \frac{0 , 28}{0 , 70} = 0, 4, P ([Y = 1] ∣ [X = 1]) = \frac{0 , 42}{0 , 70} = 0, 6.$ Leur somme vaut $1$ : c'est bien une loi de probabilité.

La loi de $Y$ . En sommant les colonnes : $P ([Y = 0]) = 0, 12 + 0, 28 = 0, 40, P ([Y = 1]) = 0, 18 + 0, 42 = 0, 60.$

Ce qu'on constate. La loi conditionnelle et la loi marginale de $Y$ sont identiques : savoir que $X$ vaut $1$ n'apprend rien sur $Y$ . C'est la signature de l'indépendance, et l'on peut la vérifier case par case : $0, 12 = 0, 30 \times 0, 40$ , $0, 18 = 0, 30 \times 0, 60$ , $0, 28 = 0, 70 \times 0, 40$ , $0, 42 = 0, 70 \times 0, 60$ — les quatre égalités sont vraies, donc $X$ et $Y$ sont indépendantes.

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.