Une loi conjointe à compléter

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 — Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Loi conjointe et lois conditionnelles

Énoncé

Soit $(X, Y)$ un couple avec $X (Ω) = Y (Ω) = {0, 1}$ . On sait que $P ([X = 0] \cap [Y = 0]) = 0, 2$ , $P ([X = 1]) = 0, 5$ et $P ([Y = 1]) = 0, 6$ . Compléter la loi conjointe, puis dire si $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Corrigé

Les marginales manquantes. $P ([X = 0]) = 1 - 0, 5 = 0, 5$ et $P ([Y = 0]) = 1 - 0, 6 = 0, 4$ .

Les trois cases manquantes. Une loi marginale est la somme d'une ligne, ou d'une colonne, du tableau conjoint : $P ([X = 0] \cap [Y = 1]) = P ([X = 0]) - P ([X = 0] \cap [Y = 0]) = 0, 5 - 0, 2 = 0, 3,$ $P ([X = 1] \cap [Y = 0]) = P ([Y = 0]) - P ([X = 0] \cap [Y = 0]) = 0, 4 - 0, 2 = 0, 2,$ et la dernière par complément, la somme des quatre valant $1$ : $P ([X = 1] \cap [Y = 1]) = 1 - (0, 2 + 0, 3 + 0, 2) = 0, 3$ .

Contrôle. La ligne $X = 1$ somme à $0, 2 + 0, 3 = 0, 5 = P ([X = 1])$ , et la colonne $Y = 1$ à $0, 3 + 0, 3 = 0, 6 = P ([Y = 1])$ : les deux marginales sont retrouvées.

Indépendance. On teste les quatre cases : $0, 2 = 0, 5 \times 0, 4, 0, 3 = 0, 5 \times 0, 6, 0, 2 = 0, 5 \times 0, 4, 0, 3 = 0, 5 \times 0, 6.$ Toutes sont vérifiées : $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Le point à retenir. Les lois marginales ne déterminent pas la loi conjointe : il a fallu la donnée d'une case pour la reconstituer. Et cette case décidait de tout — la valeur $0, 1$ à sa place aurait donné les mêmes marginales avec un couple dépendant.

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