Une loi conjointe à compléter

Les marginales manquantes. $P([X=0])=1-0,5=0,5$ et $P([Y=0])=1-0,6=0,4$.

Les trois cases manquantes. Une loi marginale est la somme d'une ligne, ou d'une colonne, du tableau conjoint : $$P([X=0]\cap [Y=1])=P([X=0])-P([X=0]\cap [Y=0])=0,5-0,2=0,3,$$ $$P([X=1]\cap [Y=0])=P([Y=0])-P([X=0]\cap [Y=0])=0,4-0,2=0,2,$$ et la dernière par complément, la somme des quatre valant $1$ : $P([X=1]\cap [Y=1])=1-(0,2+0,3+0,2)=0,3$.

Contrôle. La ligne $X=1$ somme à $0,2+0,3=0,5=P([X=1])$, et la colonne $Y=1$ à $0,3+0,3=0,6=P([Y=1])$ : les deux marginales sont retrouvées.

Indépendance. On teste les quatre cases : $$0,2=0,5\times 0,4,0,3=0,5\times 0,6,0,2=0,5\times 0,4,0,3=0,5\times 0,6.$$ Toutes sont vérifiées : $X$ et $Y$ sont indépendantes.

Le point à retenir. Les lois marginales ne déterminent pas la loi conjointe : il a fallu la donnée d'une case pour la reconstituer. Et cette case décidait de tout — la valeur $0,1$ à sa place aurait donné les mêmes marginales avec un couple dépendant.