Une loi conjointe donnée par une formule

Ce qu'on emploie. La somme des six probabilités vaut $1$ ; les lois marginales s'obtiennent en sommant par ligne ou par colonne ; l'indépendance exige l'égalité $P([X=i]\cap [Y=j])=P([X=i])P([Y=j])$ pour tous les couples, et il suffit d'un contre-exemple pour la faire tomber.

La constante. Les six valeurs de $i+j$ sont $2,3,4$ (pour $i=1$) et $3,4,5$ (pour $i=2$). Leur somme vaut $21$, donc $21c=1$ et $$c=\frac{1}{21}.$$

Les marginales. En sommant sur $j$ : $$P([X=1])=\frac{2+3+4}{21}=\frac{9}{21}=\frac{3}{7},P([X=2])=\frac{3+4+5}{21}=\frac{12}{21}=\frac{4}{7}.$$ En sommant sur $i$ : $$P([Y=1])=\frac{2+3}{21}=\frac{5}{21},P([Y=2])=\frac{7}{21}=\frac{1}{3},P([Y=3])=\frac{9}{21}=\frac{3}{7}.$$ Les deux totaux valent bien $1$ : $\frac{3}{7}+\frac{4}{7}=1$ et $\frac{5+7+9}{21}=1$.

L'indépendance. Sur la case $(1,1)$ : $$P([X=1])P([Y=1])=\frac{3}{7}\times \frac{5}{21}=\frac{15}{147}=\frac{5}{49},P([X=1]\cap [Y=1])=\frac{2}{21}.$$ Or $\frac{5}{49}=\frac{15}{147}$ et $\frac{2}{21}=\frac{14}{147}$ : les deux nombres diffèrent. $X$ et $Y$ ne sont pas indépendantes.