Une somme et l'un de ses termes

Ce qu'on emploie. La définition de l'indépendance (une seule case en défaut suffit à la faire tomber), la bilinéarité de la covariance, et $\mathrm{Cov}(X,X)=V(X)$.

Elles ne sont pas indépendantes. L'événement $[S=2]$ n'est réalisé que par $[X=1]\cap [Y=1]$, donc $P([S=2])=\frac{1}{9}$. Alors $$P([X=1]\cap [S=2])=P([X=1]\cap [Y=1])=\frac{1}{9},P([X=1])P([S=2])=\frac{1}{3}\times \frac{1}{9}=\frac{1}{27}.$$ Les deux nombres diffèrent : $X$ et $S$ ne sont pas indépendantes, ce qui n'a rien d'étonnant puisque $S$ contient $X$.

Les moments de $X$. $E(X)=2$ et $E(X^2)=\frac{1+4+9}{3}=\frac{14}{3}$, donc $$V(X)=\frac{14}{3}-4=\frac{2}{3}.$$ Il en va de même pour $Y$.

La covariance. Par bilinéarité, $$\mathrm{Cov}(X,S)=\mathrm{Cov}(X,X+Y)=\mathrm{Cov}(X,X)+\mathrm{Cov}(X,Y)=V(X)+0=\frac{2}{3},$$ la covariance $\mathrm{Cov}(X,Y)$ étant nulle par indépendance.

La corrélation. Comme $X$ et $Y$ sont indépendantes, $V(S)=V(X)+V(Y)=\frac{4}{3}$. Donc $$\rho (X,S)=\frac{2/3}{\sqrt{2/3}\sqrt{4/3}}=\frac{2/3}{\sqrt{8/9}}=\frac{2/3}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\approx 0,707.$$ La valeur est bien dans $[-1,1]$, et strictement inférieure à $1$ : $S$ n'est pas une fonction affine de $X$.