Variance d'une somme

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 8 — Couples et suites de variables aléatoires discrètes · Espérance et variance d'une somme

Énoncé

Soient $X$ et $Y$ telles que $V (X) = 4$ , $V (Y) = 9$ et $ρ (X, Y) = - 0, 5$ . Calculer $V (X + Y)$ et $V (X - Y)$ .

Corrigé

Covariance. $Cov (X, Y) = ρ σ_{X} σ_{Y} = - 0, 5 \times 2 \times 3 = - 3$ .

Somme. $V (X + Y) = 4 + 9 + 2 \times (- 3) = 7$ .

Différence. $V (X - Y) = V (X) + V (- Y) + 2 Cov (X, - Y) = 4 + 9 - 2 \times (- 3) = 19$ .

Remarque frappante. $V (X + Y) = 7$ est inférieure à $V (Y) = 9$ : ajouter une variable peut réduire la variance, si la covariance est assez négative. C'est tout le principe de la diversification d'un portefeuille.

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