mathématiques appliquées (ECG 2e année) · Chapitre 9 · Exercice

Dérivées partielles

Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Dérivées partielles, gradient et hessienne · niveau 1 (application)

Énoncé

Calculer $\nabla f$ et $\nabla^{2} f$ pour $f (x, y) = x^{3} + 2 x y - y^{2}$ .

Corrigé

Ordre 1. $\partial_{1} f = 3 x^{2} + 2 y$ et $\partial_{2} f = 2 x - 2 y$ , donc $\nabla f (x, y) =^{t} (3 x^{2} + 2 y, 2 x - 2 y)$ .

Ordre 2. $\partial_{1, 1}^{2} f = 6 x$ , $\partial_{2, 2}^{2} f = - 2$ , $\partial_{1, 2}^{2} f = \partial_{1} (2 x - 2 y) = 2$ et $\partial_{2, 1}^{2} f = \partial_{2} (3 x^{2} + 2 y) = 2$ .

$\nabla^{2} f (x, y) = (6 x 2 2 - 2) .$

Contrôle. Les deux dérivées croisées coïncident : la matrice est symétrique, comme l'exige Schwarz.

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