Deux facteurs à rendement décroissant

Ce qu'on emploie. La condition nécessaire $\nabla f=0$, le critère d'ordre $2$, et un argument de séparation des variables pour conclure au caractère global.

Le gradient. Sur l'ouvert $\{K>0,L>0\}$, la fonction est de classe ${\mathcal{C}}^2$ et $${\partial }_{1}f=\frac{2}{\sqrt{K}}-1,{\partial }_{2}f=\frac{3}{\sqrt{L}}-1.$$

Le point critique. Les deux équations se séparent : $$\frac{2}{\sqrt{K}}=1⟹\sqrt{K}=2⟹K=4,\frac{3}{\sqrt{L}}=1⟹\sqrt{L}=3⟹L=9.$$ L'unique point critique est $(4,9)$.

La hessienne. En dérivant $2K^{-1/2}-1$ et $3L^{-1/2}-1$ : $${\partial }_{1,1}^{2}f=-K^{-3/2},{\partial }_{2,2}^{2}f=-\frac{3}{2}{L}^{-3/2},{\partial }_{1,2}^{2}f=0,$$ la dérivée croisée étant nulle puisque ${\partial }_{1}f$ ne dépend pas de $L$. En $(4,9)$, comme $4^{3/2}=8$ et $9^{3/2}=27$ : $${\nabla }^{2}f(4,9)=\left(\begin{array}{cc}-\frac{1}{8}& 0\\ 0& -\frac{1}{18}\end{array}\right).$$ Matrice diagonale : ses valeurs propres sont $-\frac{1}{8}$ et $-\frac{1}{18}$, toutes deux strictement négatives. Maximum local.

Le caractère global. La fonction s'écrit $f(K,L)=g(K)+h(L)$ avec $g(K)=4\sqrt{K}-K$ et $h(L)=6\sqrt{L}-L$. Chacune est une fonction d'une variable dont la dérivée seconde est strictement négative sur $]0,+\infty [$, donc concave, et atteint son maximum en son unique point critique. La somme est donc maximale exactement quand chaque terme l'est : le maximum est global.

La valeur. $$f(4,9)=4\times 2+6\times 3-4-9=8+18-13=13.$$

Lecture économique. Chaque facteur est à rendement décroissant ( ​ croît de moins en moins vite) tandis que son coût est proportionnel : on augmente l'engagement tant que le rendement marginal dépasse le coût unitaire $1$, et l'on s'arrête à l'égalité.