Deux points critiques

Exercice · niveau 3 (difficile) · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 9 — Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Points critiques et nature

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{3} - 3 x + y^{2}$ . Déterminer les points critiques et leur nature.

Corrigé

Points critiques. $\partial_{1} f = 3 x^{2} - 3$ et $\partial_{2} f = 2 y$ . Donc $y = 0$ et $x^{2} = 1$ : deux points, $(1, 0)$ et $(- 1, 0)$ .

Hessienne. $\nabla^{2} f (x, y) = (6 x 0 02)$ , diagonale : ses valeurs propres sont $6 x$ et $2$ .

En $(1, 0)$ , elles valent $6$ et $2$ , toutes deux positives : minimum local, de valeur $1 - 3 = - 2$ .

En $(- 1, 0)$ , elles valent $- 6$ et $2$ , de signes opposés : point col. La valeur y est $- 1 + 3 = 2$ .

Ni l'un ni l'autre n'est global : $f (x, 0) = x^{3} - 3 x$ tend vers $- \infty$ quand $x \to - \infty$ . Sur $R^{2}$ tout entier, $f$ n'est pas minorée.

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