Deux points critiques et une exponentielle

Ce qu'on emploie. La condition nécessaire $\nabla f=0$, puis le critère d'ordre $2$. La fonction est de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$ comme produit d'un polynôme et d'une exponentielle.

Le gradient. En dérivant le produit selon $x$ : $${\partial }_{1}f=2x{\mathrm{e}}^{-x}-(x^2+y^2){\mathrm{e}}^{-x}={\mathrm{e}}^{-x}(2x-x^2-y^2),{\partial }_{2}f=2y{\mathrm{e}}^{-x}.$$

Les points critiques. L'exponentielle ne s'annulant jamais, la seconde équation donne $y=0$, et la première devient $2x-x^2=0$, soit $x(2-x)=0$. Les points critiques sont donc $$(0,0)\text{et}(2,0).$$

La hessienne. En dérivant ${\partial }_{1}f$ : $${\partial }_{1,1}^{2}f=-{\mathrm{e}}^{-x}(2x-x^2-y^2)+{\mathrm{e}}^{-x}(2-2x)={\mathrm{e}}^{-x}(2-4x+x^2+y^2),$$ $${\partial }_{1,2}^{2}f=-2y{\mathrm{e}}^{-x},{\partial }_{2,2}^{2}f=2{\mathrm{e}}^{-x}.$$

En $(0,0)$. On obtient ${\nabla }^{2}f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 2\end{array}\right)$, matrice diagonale de valeurs propres $2$ et $2$, toutes deux strictement positives : minimum local, de valeur $f(0,0)=0$. Il est même global, car $f(x,y)=(x^2+y^2){\mathrm{e}}^{-x}⩾0$ partout.

En $(2,0)$. Ici $2-8+4+0=-2$, donc $${\nabla }^{2}f(2,0)=\left(\begin{array}{cc}-2{\mathrm{e}}^{-2}& 0\\ 0& 2{\mathrm{e}}^{-2}\end{array}\right).$$ Les valeurs propres $-2{\mathrm{e}}^{-2}$ et $2{\mathrm{e}}^{-2}$ sont non nulles et de signes opposés : point col.

Le point délicat est la dérivée ${\partial }_{1,1}^{2}f$ : il faut dériver ${\mathrm{e}}^{-x}$ et le facteur polynomial, sans oublier le signe moins que produit la première.