Lire une hessienne diagonale

Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Conclure sur la nature d'un point critique · niveau 1 (application)

Énoncé

Soit $f$ de classe $C^{2}$ sur $R^{2}$ , admettant un point critique en $(a, b)$ , où sa hessienne vaut $\nabla^{2} f (a, b) = (- 3 0 0 - 5)$ . Donner la nature de ce point critique, en justifiant.

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Ce qu'on emploie. Le critère d'ordre $2$ : en un point critique, ce sont les signes des valeurs propres de la hessienne qui décident.

Les valeurs propres. La matrice est diagonale. Ses valeurs propres se lisent donc directement sur la diagonale : $λ_{1} = - 3, λ_{2} = - 5.$ On peut le vérifier : la matrice envoie $(0 1)$ sur $- 3 (0 1)$ et $(1 0)$ sur $- 5 (1 0)$ .

La conclusion. Les deux valeurs propres sont strictement négatives. Le critère d'ordre $2$ affirme alors que $f$ admet un maximum local en $(a, b)$ .

Ce qu'on ne peut pas dire. Rien n'assure que ce maximum soit global : le critère est local, et il faudrait connaître $f$ ailleurs pour aller plus loin. Rien ne dit non plus quelle est la valeur $f (a, b)$ — la hessienne ne contient aucune information sur les valeurs de $f$ , seulement sur sa courbure.

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