Nature par les valeurs propres

Point critique. ${\partial }_{1}f=2x-4y$ et ${\partial }_{2}f=-4x+2y$. Le système $2x=4y$, $4x=2y$ donne $x=2y$ puis $8y=2y$, donc $y=0$ et $x=0$. Unique point critique : l'origine, où $f$ vaut $0$.

Hessienne. ${\nabla }^{2}f=\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -4& 2\end{array}\right)$. On vérifie $\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)=-2\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{cc}2& -4\\ -4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)=6\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ : valeurs propres $-2$ et $6$.

Conclusion. Signes opposés : c'est un point col, pas un extremum.

Vérification directe. $f(t,t)=t^2-4t^2+t^2=-2t^2<0$ et $f(t,-t)=6t^2>0$ : $f$ change bien de signe autour de l'origine.