Quand le critère ne conclut pas

Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Quand le critère d'ordre 2 ne tranche pas · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Soit $f (x, y) = x^{4} + y^{4}$ . Montrer que l'origine est un point critique, que le critère d'ordre $2$ ne conclut pas, et déterminer néanmoins sa nature.

Corrigé

Point critique. $\partial_{1} f = 4 x^{3}$ et $\partial_{2} f = 4 y^{3}$ : le gradient s'annule seulement en $(0, 0)$ .

Hessienne. $\nabla^{2} f = (12 x^{2} 0 0 12 y^{2})$ , qui en $(0, 0)$ vaut la matrice nulle : ses deux valeurs propres sont nulles. Le critère ne s'applique pas.

Étude directe. $f (x, y) = x^{4} + y^{4} ⩾ 0$ pour tout $(x, y)$ , avec égalité seulement en $(0, 0)$ . C'est donc un minimum global.

La leçon. Deux valeurs propres nulles ne signifient pas « pas d'extremum » : elles signifient « le critère est muet ». Ici l'extremum existe, et il est même global — mais il fallait regarder $f$ elle-même.

Énoncé

Corrigé

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