Schwarz sur une exponentielle

Ordre 1. En gelant $y$ : ${\partial }_{1}f(x,y)=2x{\mathrm{e}}^{x^2-y}$. En gelant $x$ : ${\partial }_{2}f(x,y)=-{\mathrm{e}}^{x^2-y}$. Donc $$\nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c}2x{\mathrm{e}}^{x^2-y}\\ -{\mathrm{e}}^{x^2-y}\end{array}\right).$$

Ordre 2. On dérive encore, avec la règle du produit pour la première : $${\partial }_{1,1}^{2}f=(2+4x^2){\mathrm{e}}^{x^2-y},{\partial }_{2,2}^{2}f={\mathrm{e}}^{x^2-y},$$ $${\partial }_{1,2}^{2}f={\partial }_1(-{\mathrm{e}}^{x^2-y})=-2x{\mathrm{e}}^{x^2-y},{\partial }_{2,1}^{2}f={\partial }_2\left(2x{\mathrm{e}}^{x^2-y}\right)=-2x{\mathrm{e}}^{x^2-y}.$$ Les deux dérivées croisées sont égales : le théorème de Schwarz est vérifié, comme il devait l'être pour cette fonction de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$. $${\nabla }^{2}f(x,y)={\mathrm{e}}^{x^2-y}\left(\begin{array}{cc}2+4x^2& -2x\\ -2x& 1\end{array}\right).$$

Aucun point critique. L'exponentielle ne s'annule jamais, donc ${\partial }_{2}f(x,y)=-{\mathrm{e}}^{x^2-y}\ne 0$ pour tout $(x,y)$ : le gradient ne s'annule en aucun point de ${\mathbb{R}}^2$.

Conséquence. $f$ n'admet aucun extremum local sur ${\mathbb{R}}^2$, puisque tout extremum local d'une fonction de classe ${\mathcal{C}}^1$ sur un ouvert est un point critique. La hessienne, calculée pour l'exercice, ne servira à rien : la condition d'ordre $1$ a déjà tranché.

Le point à retenir. La condition $\nabla f=0$ est nécessaire. Quand elle n'a aucune solution, l'étude s'arrête là.