Somme et produit des valeurs propres

Exercice · niveau 2 · mathématiques appliquées (ECG 2e année), chapitre 9 — Fonctions de deux variables réelles et recherche d'extrema · Points critiques et nature

Énoncé

Soit $H = (a b b c)$ la hessienne en un point critique. Montrer que le point est un col dès que $a c - b^{2} < 0$ .

Corrigé

$H$ est symétrique, donc diagonalisable, de valeurs propres réelles $λ_{1}, λ_{2}$ . La somme des coefficients diagonaux donne $λ_{1} + λ_{2} = a + c$ (exercice 7 du chapitre 3), et l'on admet (ou l'on vérifie sur la diagonalisation) que $λ_{1} λ_{2} = a c - b^{2}$ .

Si $a c - b^{2} < 0$ , le produit des deux valeurs propres est strictement négatif : elles sont non nulles et de signes opposés. Par le critère d'ordre $2$ , le point est un col.

Application. Pour $f (x, y) = x^{2} - 4 x y + y^{2}$ , la hessienne est $(2 - 4 - 4 2)$ , donc $a = 2$ , $b = - 4$ , $c = 2$ et $a c - b^{2} = 4 - 16 = - 12 < 0$ : col, ce qui confirme l'exercice 3 sans chercher les valeurs propres. Attention : $b$ est le coefficient hors diagonale de la hessienne, soit $- 4$ ici, et non le coefficient $- 4$ du terme $x y$ divisé par deux.

Et si $a c - b^{2} > 0$ ? Les deux valeurs propres ont alors le même signe, qui est celui de la somme $a + c$ — donc celui de $a$ . Minimum si $a > 0$ , maximum si $a < 0$ .

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Un blocage sur cet exercice ? Le tuteur d'Adloun guide par questions, sans donner la réponse.