Sur un carré, le maximum est dans un coin

Ce qu'on emploie. Le théorème d'existence sur une partie fermée bornée, la condition d'ordre $1$ à l'intérieur, et une mise sous forme canonique qui transforme la recherche du maximum en un calcul de distance.

L'existence. $f$ est polynomiale donc continue sur ${\mathbb{R}}^2$, et $K$ est fermé borné (l'énoncé le donne, comme le programme l'exige). Elle est donc bornée sur $K$ et y atteint ses bornes.

La forme canonique. En complétant les deux carrés : $$f(x,y)=(x-1{)}^2-1+(y-2{)}^2-4=(x-1{)}^2+(y-2{)}^2-5.$$ Minimiser ou maximiser $f$ sur $K$ revient donc à minimiser ou maximiser la distance au point $(1,2)$, qui appartient à $K$.

Le minimum. La quantité $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2$ est positive et s'annule en $(1,2)$, point intérieur à $K$. Donc $$\underset{K}{\min }f=f(1,2)=-5,$$ atteint en $(1,2)$. On retrouve ce point par le calcul : ${\partial }_{1}f=2x-2$ et ${\partial }_{2}f=2y-4$ s'annulent simultanément en $(1,2)$, et c'est l'unique point critique.

Le maximum. Le point de $K$ le plus éloigné de $(1,2)$ est nécessairement un sommet du carré, la distance au carré étant une fonction convexe de chaque coordonnée séparément. On calcule $(x-1{)}^2+(y-2{)}^2$ aux quatre sommets : $$(0,0)\mapsto 1+4=5,(3,0)\mapsto 4+4=8,(0,3)\mapsto 1+1=2,(3,3)\mapsto 4+1=5.$$ Le plus grand est $8$, atteint en $(3,0)$, d'où $$\underset{K}{\max }f=8-5=3,$$ atteint en $(3,0)$.

Le point à retenir. Le maximum n'est pas en un point critique : il est au bord. Sur une partie fermée bornée, la recherche ne s'arrête jamais aux points critiques intérieurs — il faut toujours examiner la frontière.