Toute une parabole de points critiques

Ce qu'on emploie. La condition d'ordre $1$, le critère d'ordre $2$ et son cas d'échec (une valeur propre nulle), puis une majoration directe, seule méthode disponible quand le critère se tait.

Les points critiques. $${\partial }_{1}f=2x-2y^2,{\partial }_{2}f=-4xy+4y^3=4y(y^2-x).$$ La première équation donne $x=y^2$ ; cette égalité annule aussi la seconde, quelle que soit la valeur de $y$. L'ensemble des points critiques est donc exactement la parabole $$\{(y^2,y)\mid y\in \mathbb{R}\},$$ c'est-à-dire une infinité de points, et non un ou deux comme d'ordinaire.

Le critère ne conclut pas. Les dérivées secondes sont $${\partial }_{1,1}^{2}f=2,{\partial }_{1,2}^{2}f=-4y,{\partial }_{2,2}^{2}f=-4x+12y^2.$$ En un point critique, $x=y^2$, donc ${\partial }_{2,2}^{2}f=-4y^2+12y^2=8y^2$ et $${\nabla }^{2}f(y^2,y)=\left(\begin{array}{cc}2& -4y\\ -4y& 8y^2\end{array}\right).$$ Le produit des valeurs propres vaut $2\times 8y^2-(-4y{)}^2=16y^2-16y^2=0$ : l'une des deux valeurs propres est nulle, en tout point critique et pour toute valeur de $y$. Le critère d'ordre $2$ est donc muet ici.

L'étude directe. On reconnaît une identité remarquable : $$f(x,y)=x^2-2x{y}^2+(y^2{)}^2=(x-y^2{)}^2.$$ Cette écriture règle tout. D'une part $f(x,y)⩾0$ pour tout $(x,y)\in {\mathbb{R}}^2$ ; d'autre part $f(y^2,y)=0$ en chaque point critique.

Conclusion. En chaque point de la parabole $x=y^2$, $f$ atteint la valeur $0$, qui est son minimum sur ${\mathbb{R}}^2$ tout entier : chacun de ces points est un minimum global. Il n'est pas strict — la fonction vaut $0$ tout le long de la parabole, et c'est précisément ce que la valeur propre nulle signalait : dans la direction de la parabole, $f$ ne bouge pas.