Trois points critiques d'une fonction de degré 4

Ce qu'on emploie. La résolution du système $\nabla f=0$ par substitution, puis le critère d'ordre $2$ appliqué en chaque point.

Le système. $${\partial }_{1}f=4x^3-4y=0,{\partial }_{2}f=4y^3-4x=0,$$ c'est-à-dire $y=x^3$ et $x=y^3$. En reportant la première dans la seconde : $$x=(x^3{)}^3=x^9⟹x(x^8-1)=0.$$ Sur $\mathbb{R}$, $x^8=1$ donne $x=\pm 1$. Avec $x=0$, on obtient trois valeurs de $x$, et $y=x^3$ fournit chaque fois $y$ : $$(0,0),(1,1),(-1,-1).$$

La hessienne. $${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}12x^2& -4\\ -4& 12y^2\end{array}\right).$$

En $(0,0)$. ${\nabla }^{2}f(0,0)=\left(\begin{array}{cc}0& -4\\ -4& 0\end{array}\right)$ ; le produit des valeurs propres vaut $0-16=-16<0$, donc elles sont de signes opposés : point col. Les valeurs propres sont d'ailleurs $-4$ et $4$.

En $(1,1)$. ${\nabla }^{2}f(1,1)=\left(\begin{array}{cc}12& -4\\ -4& 12\end{array}\right)$. Cette matrice envoie $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)$ sur $8\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{1}\right)$ et $\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1}\right)$ sur $16\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{1}{-1}\right)$ : ses valeurs propres sont $8$ et $16$, toutes deux strictement positives. C'est un minimum local, de valeur $f(1,1)=1+1-4=-2$.

En $(-1,-1)$. La hessienne y est la même ($x^2=y^2=1$), donc c'est encore un minimum local, de valeur $-2$ également. Cela n'a rien d'un hasard : $f(-x,-y)=f(x,y)$, la fonction est invariante par symétrie centrale.

Le point délicat est l'équation $x=x^9$ : il faut penser à factoriser par $x$ avant de simplifier, sous peine de perdre la solution $x=0$ — c'est-à-dire le col.