Un col au centre, les extrema sur les côtés

Ce qu'on emploie. Le théorème d'existence sur un fermé borné, la condition d'ordre $1$, le critère d'ordre $2$, et une majoration directe pour conclure sur le carré.

Le point critique. ${\partial }_{1}f=2x$ et ${\partial }_{2}f=-2y$ s'annulent simultanément en $(0,0)$ seulement, où $f$ vaut $0$.

Sa nature. La hessienne est constante : $${\nabla }^{2}f=\left(\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& -2\end{array}\right).$$ Elle est diagonale : ses valeurs propres sont $2$ et $-2$, non nulles et de signes opposés. $(0,0)$ est donc un point col.

Le maximum sur $K$. Pour $(x,y)\in K$ on a $x^2⩽1$ et $y^2⩾0$, donc $$f(x,y)=x^2-y^2⩽1-0=1.$$ Cette borne est atteinte en $(1,0)$ et en $(-1,0)$, qui appartiennent à $K$. Donc ${\max }_{K}f=1$.

Le minimum sur $K$. De même $x^2⩾0$ et $y^2⩽1$, donc $$f(x,y)⩾0-1=-1,$$ borne atteinte en $(0,1)$ et $(0,-1)$. Donc ${\min }_{K}f=-1$.

Lecture. Les deux bornes sont atteintes au bord, en quatre points distincts, et la valeur $0$ du point critique est strictement comprise entre elles. C'est l'image même du col : la fonction monte le long de l'axe des abscisses et descend le long de l'axe des ordonnées, à partir du même point.