Un col et un minimum

Points critiques. ${\partial }_{1}f=3x^2-3y$ et ${\partial }_{2}f=3y^2-3x$. Le système s'écrit $y=x^2$ et $x=y^2$, d'où $x=x^4$, soit $x(x^3-1)=0$ : $x=0$ ou $x=1$. Les points critiques sont $(0,0)$ et $(1,1)$.

Hessienne. $${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}6x& -3\\ -3& 6y\end{array}\right).$$

En $(0,0)$. La hessienne vaut $\left(\begin{array}{cc}0& -3\\ -3& 0\end{array}\right)$. Elle envoie $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ sur $-3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ sur $3\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ : les valeurs propres sont $-3$ et $3$, non nulles et de signes opposés. Le point $(0,0)$ est donc un point col.

En $(1,1)$. La hessienne vaut $\left(\begin{array}{cc}6& -3\\ -3& 6\end{array}\right)$, qui envoie $\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ sur $3\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$ et $\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$ sur $9\left(\begin{array}{c}1\\ -1\end{array}\right)$. Les valeurs propres $3$ et $9$ sont strictement positives : minimum local, de valeur $f(1,1)=1+1-3=-1$.

Il n'est pas global. $f(x,0)=x^3\to -\infty$ quand $x\to -\infty$ : $f$ n'est pas minorée sur ${\mathbb{R}}^2$. Le minimum trouvé n'est donc que local — la condition d'ordre $2$ ne dit jamais rien de global.

Le point à retenir. Les deux mêmes vecteurs $(1,1)$ et $(1,-1)$ sont vecteurs propres de toute matrice $\left(\begin{array}{cc}a& b\\ b& a\end{array}\right)$, pour les valeurs propres $a+b$ et $a-b$. On lit alors la nature sans rien résoudre.