Un coût total à minimiser

Ce qu'on emploie. La condition nécessaire d'ordre $1$ et le critère d'ordre $2$, sur l'ouvert $\{x>0,y>0\}$ où $C$ est de classe ${\mathcal{C}}^2$.

Le gradient. $${\partial }_{1}C=1-\frac{8}{x^2},{\partial }_{2}C=1-\frac{18}{y^2}.$$

Le point critique. Les deux équations se séparent : $$x^2=8⟹x=2\sqrt{2},y^2=18⟹y=3\sqrt{2},$$ en ne retenant que les racines positives, seules admissibles. L'unique point critique est $(2\sqrt{2},3\sqrt{2})$.

La hessienne. $${\partial }_{1,1}^{2}C=\frac{16}{x^3}>0,{\partial }_{2,2}^{2}C=\frac{36}{y^3}>0,{\partial }_{1,2}^{2}C=0.$$ La hessienne est donc diagonale en tout point du domaine, à coefficients strictement positifs : ses valeurs propres sont ces deux coefficients, tous deux strictement positifs. Le point critique est un minimum local.

Le caractère global. $C$ est la somme de deux fonctions d'une seule variable, $x\mapsto x+\frac{8}{x}$ et $y\mapsto y+\frac{18}{y}$, chacune de dérivée seconde strictement positive sur $]0,+\infty [$. Chacune atteint donc son minimum en son unique point critique, et le minimum de la somme est global.

La valeur minimale. Avec $\frac{8}{2\sqrt{2}}=\frac{4}{\sqrt{2}}=2\sqrt{2}$ et $\frac{18}{3\sqrt{2}}=\frac{6}{\sqrt{2}}=3\sqrt{2}$ : $$C(2\sqrt{2},3\sqrt{2})=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}+2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=10\sqrt{2}\approx 14,14.$$

Le point délicat est la simplification de $\frac{8}{2\sqrt{2}}$ : on multiplie haut et bas par $\sqrt{2}$ pour obtenir $\frac{4\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$. Au minimum, chaque terme de coût égale exactement son terme de stockage — c'est la structure classique de ce genre de modèle.