Un extremum sur un domaine fermé

Existence. $f$ est continue et $D$ est fermé borné : par le théorème du cours, $f$ est bornée sur $D$ et y atteint ses bornes.

Pas de point critique intérieur. $\nabla f={}^t(1,1)$, qui ne s'annule jamais. Le maximum est donc atteint sur le bord.

Sur le bord. Tout part de $(x-y{)}^2⩾0$, c'est-à-dire $2xy⩽x^2+y^2$. Comme $x^2+y^2⩽1$ sur $D$ :

$$(x+y{)}^2=x^2+y^2+2xy⩽2(x^2+y^2)⩽2,\text{donc}x+y⩽\sqrt{2}.$$

Les deux inégalités sont simultanément des égalités exactement quand $x=y$ et $x^2+y^2=1$, soit $(x,y)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$ — l'autre point, $-\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$, donne $-\sqrt{2}$.

Conclusion. Le maximum vaut $\sqrt{2}\approx 1,414$, atteint en ce point. Par symétrie, le minimum vaut $-\sqrt{2}$.

La méthode générale. Sur un fermé borné, on cherche les points critiques à l'intérieur, puis on étudie $f$ sur le bord, et l'on compare.