Un gradient en un point

La dérivée en $x$. On gèle $y$ : la fonction $t\mapsto t{\mathrm{e}}^y$ est affine en $t$, de coefficient directeur ${\mathrm{e}}^y$. Donc $${\partial }_{1}f(x,y)={\mathrm{e}}^y.$$

La dérivée en $y$. On gèle $x$ : la fonction $u\mapsto x{\mathrm{e}}^u$ a pour dérivée $x{\mathrm{e}}^u$. Donc $${\partial }_{2}f(x,y)=x{\mathrm{e}}^y.$$

Le gradient. $$\nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c}{\mathrm{e}}^y\\ x{\mathrm{e}}^y\end{array}\right).$$

Les deux évaluations. En $(1,0)$, comme ${\mathrm{e}}^0=1$ : $$\nabla f(1,0)=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right).$$ En $(2,1)$ : $$\nabla f(2,1)=\left(\begin{array}{c}\mathrm{e}\\ 2\mathrm{e}\end{array}\right)\approx \left(\begin{array}{c}2,72\\ 5,44\end{array}\right).$$

Remarque. La première composante ne dépend pas de $x$ : à hauteur $y$ fixée, la pente selon $x$ est la même partout, ce qui est normal puisque $f$ est affine en $x$. On note au passage que ${\partial }_{1}f$ ne s'annule jamais, donc $f$ n'a aucun point critique sur ${\mathbb{R}}^2$.