Un gradient et une hessienne

Les dérivées d'ordre $1$. On gèle $y$ pour dériver en $x$ : le terme $-y^3+5$ est alors constant, et il reste $${\partial }_{1}f(x,y)=6xy.$$ On gèle $x$ pour dériver en $y$ : le terme $3x^{2}y$ a pour dérivée $3x^2$, le terme $-y^3$ donne $-3y^2$, et $5$ disparaît : $${\partial }_{2}f(x,y)=3x^2-3y^2.$$ D'où $$\nabla f(x,y)=\left(\begin{array}{c}6xy\\ 3x^2-3y^2\end{array}\right).$$

Les dérivées d'ordre $2$. On dérive chaque composante du gradient : $${\partial }_{1,1}^{2}f={\partial }_1(6xy)=6y,{\partial }_{1,2}^{2}f={\partial }_1(3x^2-3y^2)=6x,$$ $${\partial }_{2,1}^{2}f={\partial }_2(6xy)=6x,{\partial }_{2,2}^{2}f={\partial }_2(3x^2-3y^2)=-6y.$$ Donc $${\nabla }^{2}f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}6y& 6x\\ 6x& -6y\end{array}\right).$$

Contrôle. Les deux dérivées croisées valent toutes deux $6x$ : la hessienne est symétrique, conformément au théorème de Schwarz — $f$ est polynomiale, donc de classe ${\mathcal{C}}^2$ sur ${\mathbb{R}}^2$.